Basiswissen Zahlentheorie

by Kristina Reiss; Gerald Schmieder

• ISBN13: 9783540212485
• ISBN10: 3540212485
• Format: Nonspecific Binding
• Copyright: 2006-03-30
• Publisher: Springer Nature

Summary

Kenntnisse über den Aufbau des Zahlsystems und über elementare zahlentheoretische Prinzipien gehören zum unverzichtbaren Grundwissen in der Mathematik. Das vorliegende Buch spannt den Bogen vom Rechnen mit natürlichen Zahlen über Teilbarkeitseigenschaften und Kongruenzbetrachtungen bis hin zu zahlentheoretischen Funktionen und Anwendungen wie der Kryptographie und Zahlencodierung. Wert wird dabei auf eine verständliche und umfassende Darstellung des Stoffes gelegt. Beweisideen, die hinter stringent durchgeführten Beweisen stehen, und die Verknüpfung von Fachwissen mit Schulbezügen sind dabei als besondere Merkmale hervorzuheben. Ergänzt wird die Darstellung durch viele Übungsaufgaben, die mit Lösungshinweisen und vollständigen Lösungen versehen sind.

Table of Contents

Grundlagen und Voraussetzungen
Mengen	p. 4
Mengen und ihre Elemente	p. 4
Mengen und ihre Mächtigkeit	p. 6
Gleichheit von Mengen und Teilmengen	p. 7
Verknüpfungen von Mengen	p. 9
Grundbegriffe des logischen Schließens	p. 11
Implikationen und die Äquivalenz von Aussagen	p. 12
Mathematische Logik und Alltagslogik	p. 13
Einige (wenige) Regeln des mathematischen Beweisens und logischen Schließens	p. 13
Implikationen und Beweisverfahren	p. 14
Quantoren	p. 17
Übungsaufgaben	p. 19
Natürliche Zahlen
Rechnen mit natürlichen Zahlen	p. 23
Addition und Subtraktion	p. 23
Das Prinzip des kleinsten Elements	p. 24
Multiplikation und Teilbarkeit	p. 27
Die Goldbach'sche Vermutung	p. 30
Die Idee der unendlichen Mengen	p. 32
Gibt es unendliche Mengen?	p. 32
Hilberts Hotel	p. 32
Beweise durch vollständige Induktion	p. 34
Häufige Fehler	p. 36
Produkt und Induktion	p. 37
Definition durch Induktion	p. 39
Der binomische Lehrsatz	p. 46
Evidenz und Wahrheit	p. 52
Was sind die natürlichen Zahlen?	p. 55
Axiome für die natürlichen Zahlen	p. 57
Die Peano-Axiome	p. 57
Modelle zu den Peano-Axiomen	p. 60
Mengentheoretische Begründung von <$>{\op N}<$>	p. 62
Übungsaufgaben	p. 62
Zahldarstellungen und Stellenwertsysteme
Beispiele für Zahldarstellungen	p. 67
Division mit Rest	p. 71
Die Kreuzprobe	p. 75
Das Prinzip der Kreuzprobe	p. 75
Die Begründung der Kreuzprobe	p. 76
Zahldarstellung in g-adischen Systemen	p. 78
Rechnen in Stellenwertsystemen	p. 82
Addition und Subtraktion in g-adischen Systemen	p. 83
Multiplikation und Division in g-adischen Systemen	p. 85
Übungsaufgaben	p. 88
Teilbarkeit und Primzahlen
Teilbarkeit in <$>{\op N}<$>	p. 91
Primzahlen	p. 95
Das Sieb des Eratosthenes	p. 96
Die Unendlichkeit der Menge der Primzahlen	p. 97
Primzahlzwillinge, Primzahltupel, Primzahlformeln	p. 99
Primfaktorzerlegung	p. 101
Teilbarkeit und Primfaktoren in <$>{\op Z}<$>	p. 106
Übungsaufgaben	p. 114
Teiler und Vielfache
Der größte gemeinsame Teiler in <$>{\op Z}<$>	p. 119
Der euklidische Algorithmus	p. 125
Das kleinste gemeinsame Vielfache in <$>{\op Z}<$>	p. 130
Vollkommene Zahlen	p. 133
Übungsaufgaben	p. 140
Ganze Zahlen
Definition der ganzen Zahlen	p. 147
Rechnen mit ganzen Zahlen	p. 154
Die isomorphe Einbettung der natürlichen in die ganzen Zahlen	p. 159
Die Anordnung der ganzen Zahlen	p. 165
Übungsaufgaben	p. 166
Restklassen
Kongruenzen	p. 171
Verknüpfungen von Restklassen	p. 177
Der Ring <$>{\op Z}_m<$> der Restklassen modulo m	p. 186
Teilbarkeitsregeln	p. 188
Quersummenregeln	p. 188
Endstellenregeln	p. 191
Pseudozufallszahlen und Kongruenzen	p. 192
Die Erzeugung von Pseudozufallszahlen	p. 194
Übungsaufgaben	p. 195
Lineare und quadratische Kongruenzen
Lineare Kongruenzen und ihre Lösbarkeit	p. 199
Anwendungen linearer Kongruenzen	p. 204
Sätze von Euler	p. 207
Chinesischer Restsatz	p. 212
Quadratische Kongruenzen	p. 214
Übungsaufgaben	p. 224
Teilbarkeit in Integritätsringen
Integritätsringe	p. 228
Einheiten, Teiler und assoziierte Elemente	p. 233
Primelemente	p. 242
Nebenklassen, Ideale und Hauptidealringe	p. 250
Eigenschaften von Hauptidealringen	p. 257
Übungsaufgaben	p. 263
Rationale Zahlen
Definition der rationalen Zahlen	p. 267
<$>{\op Q}<$> ist eine große Menge: Dezimaldarstellung	p. 277
<$>{\op Q}<$> ist eine kleine Menge: Abzählbarkeit	p. 286
Abzählen nach der Summe von Zähler und Nenner	p. 287
Die Abzählbarkeit der rationalen Zahlen	p. 289
<$>{\op Q}<$> ist eine kleine Menge: Rationale und reelle Zahlen	p. 290
Kettenbrüche	p. 296
Darstellung von rationalen Zahlen durch Kettenbrüche	p. 299
Darstellung von irrationalen Zahlen durch Kettenbrüche	p. 301
Übungsaufgaben	p. 302
Reelle Zahlen
Konvergenz	p. 309
Die Erweiterung von <$>{\op Q}<$> auf <$>{\op R}<$>	p. 320
Nachweis des Grenzwerts	p. 327
Übungsaufgaben	p. 333
Komplexe Zahlen
Definition der komplexen Zahlen	p. 338
Die Zahlenebene	p. 338
Polarkoordinaten	p. 339
Addition und Multiplikation	p. 343
Reelle Zahlen sind komplexe Zahlen	p. 346
Rechnen mit komplexen Zahlen	p. 348
Quadratische Gleichungen	p. 353
Gleichungen höherer Ordnung	p. 358
Übungsaufgaben	p. 363
Zahlentheoretische Funktionen
Begriffsbestimmung	p. 367
Primzahlverteilung	p. 368
Die Euler'sche ϕ-Funktion	p. 370
Die Riemann'sche ¿-Funktion	p. 377
Ungerade natürliche Zahlen und die Riemann'sche ¿-Funktion	p. 379
Zusammenhänge der Riemann'schen ¿-Funktion mit den Primzahlen	p. 379
Übungsaufgaben	p. 382
Anwendungen der elementaren Zahlentheorie
Verwaltung von Lagerbeständen	p. 387
EAN (European Article Number)	p. 387
ISBN (International Standard Book Number)	p. 390
Kryptographie	p. 393
Einheiten in <$>{\op Z}_{pq}<$>	p. 398
Grundlagen des RSA-Verfahrens	p. 399
Praktische Zahlenkodierung	p. 400
Ein Beispiel zur Kodierung und Dekodierung	p. 402
Praktische Textkodierung	p. 403
Übungsaufgaben	p. 407
Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben	p. 411
Lösungen zu den Übungsaufgaben	p. 425
Literaturverzeichnis	p. 461
Index	p. 463
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