Calculo diferencial e integral / Elements of Differential and Integral Calculus

by Granville, William Anthony, Ph.D.

• ISBN13: 9789681811785
• ISBN10: 968181178X
• Format: Paperback
• Copyright: 2005-06-30
• Publisher: Editorial Limusa S.A. De C.V.
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Table of Contents

CALCULO DIFERENCIAL
Resumen de formulas
Formulas de Algebra y de Geometria elementales	3	(1)
Formulas de Trigonometria plana	4	(2)
Formulas de Geometria analitica plana	6	(2)
Formulas de Geometria analitica del espacio	8	(2)
Alfabeto griego	10	(1)
Variables, funciones y limites
Variables y constantes	11	(1)
Intervalo de una variable	11	(1)
Variacion continua	12	(1)
Funciones	12	(1)
Variables independientes y dependientes	12	(1)
Notacion de funciones	13	(1)
La division por cero, excluida	13	(2)
Grafica de una funcion: continuidad	15	(1)
Limite de una variable	16	(1)
Limite de una funcion	16	(1)
Teoremas sobre limites	17	(1)
Funciones continuas y discontinuas	17	(2)
Infinito	19	(3)
Infinitesimos	22	(1)
Teoremas relativos a infinitesimos y limites	23	(2)
Derivacion
Introduccion	25	(1)
Incrementos	25	(1)
Comparacion de incrementos	26	(1)
Derivada de una funcion de una variable	27	(1)
Simbolos para representar las derivadas	28	(2)
Funciones derivables	30	(1)
Regla general para la derivacion	30	(2)
Interpretacion geometrica de la derivada	32	(4)
Reglas para derivar funciones algebraicas
Importancia de la regla general	36	(1)
Derivada de una constante	37	(1)
Derivada de una variable con respecto a si misma	38	(1)
Derivada de una suma	38	(1)
Derivada del producto de una constante por una funcion	39	(1)
Derivada del producto de dos funciones	39	(1)
Derivada del producto de n funciones, siendo n un numero fijo	40	(1)
Derivada de la potencia de una funcion, siendo el exponente constante	41	(1)
Derivada de un cociente	41	(5)
Derivada de una funcion de funcion	46	(1)
Relacion entre las derivadas de las funciones inversas	47	(2)
Funciones implicitas	49	(1)
Derivacion de funciones implicitas	49	(3)
Aplicaciones de la derivada
Direccion de una curva	52	(2)
Ecuaciones de la tangente y la normal: longitudes de la subtangente y la subnormal	54	(4)
Valores maximo y minimo de una funcion: introduccion	58	(4)
Funciones crecientes y decrecientes	62	(2)
Maximos y minimos de una funcion: definiciones	64	(2)
Primer metodo para calcular los maximos y minimos de una funcion. Regla guia en las aplicaciones	66	(2)
Maximos o minimos cuando f' (x) se vuelve infinita y f (x) es continua	68	(3)
Problemas sobre maximos y minimos	71	(7)
La derivada como rapidez de variacion	78	(2)
Velocidad en un movimiento rectilineo	80	(2)
Relacion entre la rapidez de variacion de variables relacionadas	82	(7)
Derivadas sucesivas de una funcion. Aplicaciones
Definicion de las derivadas sucesivas	89	(1)
Obtencion de las derivadas sucesivas en funciones implicitas	90	(2)
Sentido de la concavidad de una curva	92	(1)
Segundo metodo para determinar maximos y minimos	92	(4)
Puntos de inflexion	96	(2)
Metodo para construccion de curvas dadas por su ecuacion	98	(3)
Aceleracion en un movimiento rectilineo	101	(4)
Derivacion de funciones trascendentes. Aplicaciones
Formulas de derivacion: lista segunda	105	(1)
El numero e. Logaritmos naturales	106	(2)
Funciones exponenciales y logaritmicas	108	(1)
Derivacion de la funcion logaritmica	109	(1)
Derivacion de la funcion exponencial	110	(1)
Derivacion de la funcion exponencial general. Demostracion de la regla de potencias	111	(2)
Derivacion logaritmica	113	(4)
Funcion sen x	117	(1)
Limite de sen x / x cuando x → 0	118	(1)
Derivada de sen v	119	(1)
Otras funciones trigonometricas	120	(1)
Derivada de cos v	121	(1)
Demostracion de las formulas XV a XIX	122	(4)
Funciones trigonometricas inversas	126	(2)
Derivacion de arc sen v	128	(1)
Derivacion de arc cos v	128	(1)
Derivacion de arc tg v	129	(1)
Derivacion de arc ctg v	130	(1)
Derivaciones de arc sec v y arc csc v	131	(1)
Derivacion de arc vers v	132	(6)
Aplicaciones a las ecuaciones parametricas y polares y al calculo de las raices de una ecuacion
Ecuaciones parametricas de una curva. Pendiente	138	(5)
Ecuaciones parametricas. Segunda derivada	143	(1)
Movimiento curvilineo. Velocidad	144	(1)
Movimiento curvilineo. Aceleraciones componentes	145	(3)
Coordenadas polares. Angulo que forman el radio vector y la tangente	148	(4)
Longitudes de la subtangente y la subnormal en coordenadas polares	152	(2)
Raices reales de las ecuaciones. Metodos graficos	154	(2)
Segundo metodo para localizar las raices reales	156	(2)
Metodo de Newton	158	(6)
Diferenciales
Introduccion	164	(1)
Definiciones	164	(1)
La diferencial como aproximacion del incremento	165	(1)
Errores pequenos	166	(3)
Formulas para hallar las diferenciales de funciones	169	(2)
Diferencial del arco en coordenadas cartesianas rectangulares	171	(2)
Diferencial del arco en coordenadas polares	173	(2)
La velocidad como rapidez de variacion de la longitud del arco con respecto al tiempo	175	(1)
Las diferenciales como infinitesimos	176	(1)
Ordenes de infinitesimos. Diferenciales de orden superior	177	(2)
Curvatura. Radio de curvatura. Circulo de curvatura
Curvatura	179	(1)
Curvatura de la circunferencia	180	(1)
Formulas para la curvatura (coordenadas rectangulares)	180	(2)
Formula especial para las ecuaciones parametricas	182	(1)
Formula para la curvatura (coordenadas polares)	182	(1)
Radio de curvatura	183	(1)
Curvas de ferrocarril: curvas de transicion	183	(1)
Circulo de curvatura	184	(4)
Centro de curvatura	188	(2)
Evolutas	190	(4)
Propiedades de la evoluta	194	(2)
Las evolventes y su construccion mecanica	196	(3)
Transformacion de derivadas	199	(4)
Teorema del valor medio y sus aplicaciones
Teorema de Rolle	203	(1)
Circulo osculador	204	(2)
Punto limite de la interseccion de dos normales infinitamente proximas	206	(1)
Teorema del valor medio	207	(2)
Formas indeterminadas	209	(1)
Determinacion del valor de una funcion cuando esta toma una forma indeterminada	210	(1)
Determinacion del valor de la forma indeterminada 0/0	210	(4)
Determinacion del valor de la forma indeterminada ∞/∞	214	(1)
Determinacion del valor de la forma indeterminada 0 . ∞	214	(1)
Determinacion del valor de la forma indeterminada ∞ - ∞	215	(1)
Determinacion del valor de las formas indeterminadas 00, 1∞ - ∞	216	(2)
Generalizacion del teorema del valor medio	218	(1)
Los maximos y minimos, tratados analiticamente	219	(8)
CALCULO INTEGRAL
Integracion de formas elementales ordinarias
Integracion	227	(2)
Constante de integracion. Integral indefinida	229	(1)
Reglas para integrar las formas elementales ordinarias	230	(3)
Demostracion de las formulas (3), (4) y (5)	233	(7)
Demostracion de las formulas (6) y (7)	240	(2)
Demostracion de las formulas (8) a (17)	242	(4)
Demostracion de las formulas (18) a (21)	246	(8)
Demostracion de las formulas (22) y (23)	254	(3)
Integracion de diferenciales trigonometricas	257	(9)
Integracion, por sustitucion trigonometrica, de expresiones que contienen a2 -- u2 o u2 ± a2	266	(3)
Integracion por partes	269	(5)
Observaciones	274	(3)
Constante de integracion
Determinacion de la constante de integracion por medio de condiciones iniciales	277	(1)
Significado geometrico	277	(4)
Significado fisico de la constante de integracion	281	(6)
Integral definida
Diferencial del area bajo una curva	287	(1)
La integral definida	288	(1)
Calculo de una integral definida	289	(1)
Cambio de limites correspondientes a un cambio de la variable	290	(2)
Calculo de areas	292	(1)
Calculo del area cuando las ecuaciones de la curva se dan en forma parametrica	293	(4)
Representacion geometrica de una integral	297	(1)
Integracion aproximada. Formula de los trapecios	297	(3)
Formula de Simpson (formula parabolica)	300	(3)
Intercambio de limites	303	(1)
Descomposicion del intervalo de integracion en una integral definida	303	(1)
La integral definida es una funcion de sus limites	304	(1)
Integrales impropias. Limites infinitos	304	(1)
Integrales impropias	305	(4)
La integracion como suma
Introduccion	309	(1)
Teorema fundamental del Calculo integral	309	(3)
Demostracion analitica del teorema fundamental	312	(2)
Areas de superficies limitadas por curvas planas: coordenadas rectangulares	314	(5)
Areas de curvas planas; coordenadas polares	319	(3)
Volumenes de solidos de revolucion	322	(8)
Longitud de un arco de curva	330	(1)
Longitudes de arcos de curvas planas: coordenadas rectangulares	331	(3)
Longitudes de arcos de curvas planas; coordenadas polares	334	(3)
Areas de superficies de revolucion	337	(7)
Solidos cuyas secciones transversales se conocen	344	(8)
Artificios de integracion
Introduccion	352	(1)
Integracion de fracciones racionales	352	(9)
Integracion por sustitucion de una nueva variable: racionalizacion	361	(4)
Diferenciales binomias	365	(3)
Condiciones de racionalizacion de la diferencial binomia	368	(1)
Transformacion de las diferenciales trigonometricas	369	(2)
Sustituciones diversas	371	(3)
Formulas de reduccion. Uso de la tabla de integrales
Introduccion	374	(1)
Formulas de reduccion para las diferenciales binomias	374	(6)
Formulas de reduccion para las diferenciales trigonometricas	380	(4)
Empleo de una tabla de integrales	384	(6)
Centros de gravedad. Presion de liquidos. Trabajo. Valor medio
Momento de superficie: centro de gravedad	390	(4)
Centro de gravedad de un solido de revolucion	394	(2)
Presion de liquidos	396	(4)
Trabajo	400	(6)
Valor medio de una funcion	406	(6)
Series
Definiciones	412	(1)
La serie geometrica	413	(2)
Series convergentes y divergentes	415	(1)
Teoremas generales	416	(1)
Criterios de comparacion	417	(5)
Criterio de D'Alembert	422	(1)
Series alternadas	423	(1)
Convergencia absoluta	424	(1)
Resumen	425	(3)
Series de potencias	428	(3)
La serie binomica	431	(2)
Otro tipo de serie de potencias	433	(2)
Desarrollo de funciones en serie de potencias
Serie de Maclaurin	435	(6)
Operaciones con series infinitas	441	(4)
Derivacion e integracion de series de potencias	445	(3)
Deduccion de formulas aproximadas de la serie de Maclaurin	448	(2)
Serie de Taylor	450	(2)
Otra forma de la serie de Taylor	452	(2)
Formulas aproximadas deducidas de la serie de Taylor	454	(4)
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Ecuaciones diferenciales: orden y grado	458	(1)
Soluciones de una ecuacion diferencial. Constantes de integracion	459	(1)
Verificacion de las soluciones de ecuaciones diferenciales	460	(2)
Ecuaciones diferenciales de primer orden y de primer grado	462	(11)
Dos tipos especiales de ecuaciones diferenciales de orden superior	473	(3)
Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes	476	(10)
Aplicaciones. Ley del interes compuesto	486	(4)
Aplicaciones a problemas de Mecanica	490	(6)
Ecuaciones diferenciales lineales de enesimo orden con coeficientes constantes	496	(11)
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
Funciones hiperbolicas
Seno y coseno hiperbolicas	507	(1)
Otras funciones hiperbolicas	508	(2)
Tabla de valores de senos, cosenos y tangentes hiperbolicos. Graficas	510	(1)
Funciones hiperbolicas de u y w	511	(3)
Derivadas	514	(1)
Relaciones con la hiperbola equilatera	514	(4)
Funciones hiperbolicas inversas	518	(3)
Derivadas (continuacion)	521	(2)
Linea telegrafica	523	(3)
Integrales	526	(3)
Integrales (continuacion)	529	(3)
El gudermaniano	532	(3)
Carta de Mercator	535	(3)
Relaciones entre las funciones trigonometricas y las hiperbolicas	538	(5)
Derivadas parciales
Funciones de dos o mas variables. Continuidad	543	(1)
Derivadas parciales	544	(2)
Interpretacion geometrica de las derivadas parciales	546	(3)
Diferencial total	549	(3)
Valor aproximado del incremento total. Errores pequenos	552	(4)
Derivadas totales. Razones de variacion	556	(2)
Cambio de variables	558	(2)
Derivacion de funciones implicitas	560	(5)
Derivadas de orden superior	565	(5)
Aplicaciones de las derivadas parciales
Envolvente de una familia de curvas	570	(5)
La evoluta de una curva dada considerada como la envolvente de sus normales	575	(2)
Ecuaciones de la tangente y del plano normal a una curva alabeada	577	(3)
Longitud de un arco de curva alabeada	580	(2)
Ecuaciones de la normal y del plano tangente a una superficie	582	(2)
Interpretacion geometrica de la diferencial total	584	(3)
Otra forma de las ecuaciones de la tangente y el plano normal a una curva alabeada	587	(3)
Teorema del valor medio	590	(2)
Maximos y minimos de funciones de varias variables	592	(6)
Teorema de Taylor para funciones de dos o mas variables	598	(4)
Integrales multiples
Integracion parcial y sucesiva	602	(1)
Integral doble definida. Interpretacion geometrica	603	(6)
Valor de una integral doble definida extendida a una region S	609	(1)
Area de una superficie plana como integral doble definida	610	(4)
Volumen bajo una superficie	614	(3)
Instrucciones para establecer, en la practica, una integral doble	617	(1)
Momento de una superficie y centros de gravedad	617	(2)
Teorema de Pappus	619	(3)
Centro de presion de liquidos	622	(1)
Momento de inercia de una superficie	623	(4)
Momento polar de inercia	627	(2)
Coordenadas polares. Area plana	629	(3)
Formulas que emplean coordenadas polares	632	(3)
Metodo general para hallar las areas de las superficies curvas	635	(6)
Calculo de volumenes por integracion triple	641	(3)
Calculo de volumenes, empleando coordenadas cilindricas	644	(9)
Curvas importantes
Parabola cubica, parabola semicubica, la bruja de Agnesi, cisoide de Diocles	653	(1)
Lemniscata de Bernoulli, concoide de Nicomedes, cicloide ordinaria, cicloide con vertice en el origen, catenaria, parabola	654	(1)
Astroide, evoluta de la elipse, cardioide, hoja de Descartes, sinusoide y cosinusoide	655	(1)
Caracol de Pascal, estrofoide, espiral de Arquimedes, espiral logaritmica, espiral hiperbolica, lituus	656	(1)
Espiral parabolica, curva logaritmica, curva exponencial, curva de probabilidad, secantoide, tangentoide	657	(1)
Rosa de tres hojas, rosa de cuatro hojas, rosa de dos hojas, rosa de ocho hojas	658	(1)
Parabola, hiperbola equilatera, evolvente de circulo, tractriz	659	(1)
Tabla de integrales
Algunas formas elementales	660	(1)
Formas racionales que contienen a + bu	660	(1)
Formas racionales que contienen a2 + b2u2	661	(1)
Formas que contienen a + bu	662	(1)
Formas que contienen u2 ± a2	663	(2)
Formas que contienen a2 -- u2	665	(2)
Formas que contienen 2 au ± u2	667	(1)
Formulas de reduccion para las integrales binomias	668	(1)
Formas que contienen a + bu ± cu2 (c > 0)	669	(1)
Otras formas algebraicas	670	(1)
Formas exponenciales y logaritmicas	671	(1)
Formas trigonometricas	672	(2)
Formas de reduccion para integrales trigonometricas	674	(1)
Funciones trigonometricas inversas	675	(1)
Funciones hiperbolicas	676	(3)
Indice Alfabetico	679