Differential-Geometrie und Minimal-Flachen : Vollstandig Uberarbeitete und Erweiterte Auflage

by Eschenburg, Jost-hinrich; Jost, Jurgen

• ISBN13: 9783540222279
• ISBN10: 3540222278
• Edition: 2nd
• Format: Paperback
• Copyright: 2007-03-16
• Publisher: Springer Verlag

Summary

Das vorliegende Lehrbuch bietet eine moderne Einf??hrung in die Differentialgeometrie etwa im Umfang einer einsemestrigen Vorlesung. Zun??chst wird die Geometrie von Fl??chen im Raum behandelt. Hierbei wird die geometrische Anschauung des Lesers anhand vieler Beispiele gef??rdert, deren wichtigste Klasse die Minimalfl??chen bilden. Zu ihrem Studium werden analytische Methoden entwickelt, und in diesem Zusammenhang wird auch das Plateausche Problem, eine Minimalfl??che mit vorgegebener Berandung zu finden, gel??st. Als Beispiel einer globalen Aussage der Differentialgeometrie wird der Bernsteinsche Satz bewiesen. Weitere Kapitel behandeln die innere Geometrie von Fl??chen, einschlie??lich des Satzes von Gauss-Bonnet und einer ausf??hrlichen Darstellung der hyperbolischen Geometrie. Verschiedene geistesgeschichtliche Bemerkungen runden diesen Text ab, welcher durch seine Verbindung von geometrischen Konstruktionen und analytischen Methoden einem zentralen Trend der modernen mathematischen Forschung folgt. F??r die Neuauflage wurde der Text in Zusammenarbeit mit J.-H. Eschenburg ??berarbeitet und aktualisiert.

Table of Contents

Der begriffliche Rahmen	p. 1
Geometrie	p. 1
Anschauliche und Analytische Geometrie	p. 1
Glattheit	p. 6
Messungen	p. 9
Ubungsaufgaben	p. 11
Kurven	p. 13
Bogenlange	p. 13
Die Variation der Bogenlange	p. 18
Krummung	p. 19
Totalkrummung geschlossener ebener Kurven	p. 23
Totalkummung von Raumkurven	p. 25
Torsion	p. 27
Ubungsaufgaben	p. 29
Die erste Fundamentalform	p. 35
Lange und Winkel	p. 35
Skalarprodukte	p. 37
Flacheninhalt	p. 39
Zueinander isometrische Immersionen	p. 41
Ubungsaufgaben	p. 42
Die zweite Fundamentalform	p. 45
Die Lageanderung des Tangentialraums	p. 45
Die Gaubabbildung einer Hyperflache	p. 46
Weingarten-Abbildung	p. 48
Abstandsfunktion und Parallelhyperflachen	p. 51
Die lokale Gestalt einer Hyperflache	p. 53
Der Normalanteil des Krummungsvektors	p. 54
Normalenschnitte	p. 56
Ubungsaufgaben	p. 57
Geodaten und Kurzeste	p. 61
Die Variation der Bogenlange auf Immersionen	p. 61
Die Differentialgleichung der Geodaten	p. 62
Die geodatische Exponentialabbildung	p. 64
Kurzeste Kurven	p. 67
Ubungsaufgaben	p. 68
Die tangentiale Ableitung	p. 71
Die Christoffelsymbole	p. 71
Die Levi-Civita-Ableitung	p. 72
Vektorfelder langs Kurven, Parallelitat	p. 74
Gradient und Hesseform	p. 76
Ubungsaufgaben	p. 79
Nabelpunkte und konforme Abbildungen	p. 81
Nabelpunkthyperflachen	p. 81
Orthogonale Hyperflachensysteme	p. 82
Konforme Abbildungen	p. 84
Mobius-Transformationen	p. 87
Die Stereographische Projektion	p. 91
Ubungsaufgaben	p. 94
Minimalflachen	p. 99
Variation des Flacheninhalts	p. 99
Minimaler Flacheninhalt	p. 102
Seifenhaute und mittlere Krummung	p. 106
Konforme Parameter und komplexe Zahlen	p. 110
Die Weierstrab-Darstellung	p. 115
Konstruktion konformer Parameter	p. 120
Minimale Graphen und Satz von Bernstein	p. 122
Ubungsaufgaben	p. 127
Das Plateau-Problem	p. 133
Einfuhrung	p. 133
Flacheninhalt und Energie	p. 135
Das Dirichletsche Prinzip	p. 136
Bestimmung der Randparameter	p. 140
Schwache Konformitat	p. 144
Ausschluss von Verzweigungspunkten	p. 152
Harmonische Funktionen	p. 157
Holomorphe Funktionen	p. 164
Ubungsaufgaben	p. 168
Minimalflachen und Maximumprinzip	p. 171
Das Maximumprinzip fur minimale Hyperflachen	p. 171
Hindernisse fur Minimalflachen	p. 175
Ubungsaufgaben	p. 179
Innere und aubere Geometrie	p. 181
Von der inneren zur Riemannschen Geometrie	p. 181
Die Levi-Civita-Ableitung	p. 184
Der Riemannsche Krummungstensor	p. 187
Lokal euklidische Metriken	p. 190
Gaub-Gleichung und Theorema Egregium	p. 192
Ubungsaufgaben	p. 195
Krummung und Gestalt	p. 197
Geodatische Koordinaten	p. 197
Die Jacobigleichung	p. 199
Die hyperbolische Ebene	p. 201
Geodatische Krummung auf Flachen	p. 208
Der Satz von Gaub-Bonnet	p. 209
Zusammenhangsform und Krummung	p. 212
Der Satz von Gaub-Bonnet im Groben	p. 214
Ubungsaufgaben	p. 219
Integration	p. 225
Cartanableitung und Integration	p. 225
Der Divergenzsatz	p. 230
Integrationsbedingungen	p. 232
Ubungsaufgaben	p. 235
Gewohnliche Differentialgleichungen	p. 237
Existenz und Eindeutigkeit	p. 237
Lineare Differentialgleichungen	p. 239
Stetige Abhangigkeit von Parametern und Anfangswerten	p. 240
Differenzierbare Abhangigkeit von den Anfangswerten	p. 242
Der Fluss eines Vektorfeldes	p. 244
Ubungsaufgaben	p. 246
Literatur	p. 249
Sachverzeichnis	p. 251
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