Funktionentheorie 1

by Freitag, Eberhard; Busam, Rolf

• ISBN13: 9783540317647
• ISBN10: 3540317643
• Edition: 4th
• Format: Paperback
• Copyright: 2007-12-04
• Publisher: Springer Verlag

Summary

Die ersten vier Kapitel dieser Darstellung der klassischen Funktionentheorie vermitteln mit minimalem Begriffsaufwand und auf geringen Vorkenntnissen aufbauend zentrale Ergebnisse und Methoden der komplexen Analysis einer Veränderlichen und gipfeln in einem Beweis des kleinen Riemannschen Abbildungssatzes und einer Charakterisierung einfach zusammenhängender Gebiete. Weiter werden behandelt: Elliptische Funktionen (Weierstraßscher und Jacobischer Ansatz), die elementare Theorie der Modulformen einer Variablen, Anwendungen der Funktionentheorie auf die Zahlentheorie (einschließlich eines Beweises des Primzahlsatzes).Die optisch übersichtliche Aufbereitung und über vierhundert Übungsaufgaben von unterschiedlichstem Schwierigkeitsgrad mit Lösungshinweisen machen den Band auch zur Prüfungsvorbereitung und zum Selbststudium für Mathematiker und Physiker gut geeignet.In der vorliegende vierten Auflage wurden u.a. einige Textstellen überarbeitet und neue Übungsaufgaben aufgenommen.

Table of Contents

Einleitung	p. XIII-XX
Differentialrechnung im Komplexen	p. 1
Komplexe Zahlen	p. 1
Konvergente Folgen und Reihen	p. 16
Stetigkeit	p. 28
KomplexeAbleitung	p. 34
Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen	p. 40
Integralrechnung im Komplexen	p. 61
Komplexe Kurvenintegrale	p. 62
Der Cauchysche Integralsatz	p. 70
Die Cauchysche Integralformel	p. 86
Folgen und Reihen analytischer Funktionen, Residuensatz	p. 97
Gleichmäßige Approximation	p. 99
Potenzreihen	p. 104
Abbildungseigenschaften analytischer Funktionen	p. 119
Singularitäten analytischer Funktionen	p. 129
Laurentzerlegung	p. 139
Anhang zu  4und  5. Der Begriff der meromorphen Funktion	p. 152
Der Residuensatz	p. 160
Anwendungen des Residuensatzes	p. 169
Konstruktion analytischer Funktionen	p. 189
Die Gammafunktion	p. 190
Der Weierstraßsche Produktsatz	p. 209
Der Partialbruchsatz von Mittag-Leffler	p. 218
Der kleine Riemannsche Abbildungssatz	p. 223
Die Homotopieversion des Cauchyschen Integralsatzes	p. 233
Eine Homologieversion des Cauchyschen Integralsatzes	p. 239
Anhang C	p. 244
Elliptische Funktionen	p. 251
Die Liouvilleschen Sätze	p. 252
Die Weierstraßsche &-Funktion	p. 262
Der Körper der elliptischen Funktionen	p. 269
Anhang zu  3. Der Torus als algebraische Kurve	p. 273
Das Additionstheorem	p. 281
Elliptische Integrale	p. 287
Das Abelsche Theorem	p. 294
Die elliptische Modulgruppe	p. 305
Die Modulfunktion j	p. 313
Elliptische Modulformen	p. 321
Die Modulgruppe und ihr Fundamentalbereich	p. 322
Die k/12-Formel und die Injektivität der j-Funktion	p. 330
Die Algebra der Modulformen	p. 339
ModulformenundThetareihen	p. 343
Modulformen zu Kongruenzgruppen	p. 357
Anhang zu  5. Die Thetagruppe	p. 369
Ein Ring von Thetafunktionen	p. 376
Analytische Zahlentheorie	p. 386
Summen von vier und acht Quadraten	p. 387
Dirichletreihen	p. 405
Dirichletreihen mit Funktionalgleichungen	p. 413
Die Riemannsche ¿-Funktion und Primzahlen	p. 427
Die analytische Fortsetzung der ¿-Funktion	p. 435
Ein Taubersatz	p. 443
Lösungen der Übungsaufgaben	p. 457
Literatur	p. 519
Symbolverzeichnis	p. 529
Index	p. 531
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