Mathematik kompakt

by Yvonne Stry; Rainer Schwenkert

• ISBN13: 9783540323112
• ISBN10: 3540323112
• Format: Nonspecific Binding
• Copyright: 2006-06-29
• Publisher: Springer Nature

Summary

Dieses kompakte und gut verst??ndliche Mathematikbuch besticht durch seine gelungene Stoffauswahl und seine didaktischen Vorz??ge: - Anschaulicher, aufgelockerter Stil - Zusammenfassung eines jeden Kapitels - Randnotizen zur schnellen Navigation - Testfragen - Beispiele und Anwendungen - Typische Fehler und ihre Vermeidung - Tipps f??rs Studium. Die Autoren konzentrieren sich auf den heute relevanten Stoff und verzichten auf ??berfl??ssige Beweise. Moderne Themen wie Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik werden ??berzeugend dargestellt. Das Buch eignet sich zur Vorlesungsbegleitung ebenso wie zum Selbststudium und als Nachschlagewerk. Begleitend werden f??r Dozenten im Internet Folien zum Downloaden zur Verf??gung gestellt.

Table of Contents

Mathematische Grundbegriffe	p. 1
Einführung	p. 1
Mengen	p. 3
Grundlegende Mengendefinitionen	p. 3
Grundlegende Mengenoperationen	p. 5
Zahlen	p. 8
Zahlensysteme	p. 8
Intervalle	p. 10
Kombinatorik	p. 12
Permutationen, Binomialkoeffizienten	p. 13
Das Pascal'sche Dreieck	p. 14
Urnenmodell in der Kombinatorik	p. 17
Kurzer Verständnistest	p. 19
Anwendungen	p. 20
Zahlen im Rechner: Stellenwertsysteme	p. 20
Zahlen im Rechner: Schaltalgebra, Aussagenlogik und Boole'sche Verbände	p. 22
Zusammenfassung	p. 24
Übungsaufgaben	p. 26
Lösungen	p. 27
Folgen und endliche Summen	p. 29
Einführung	p. 29
Folgen und ihre Eigenschaften	p. 31
Endliche arithmetische und geometrische Folgen und Reihen	p. 38
Vollständige Induktion	p. 41
Kurzer Verständnistest	p. 46
Anwendungen	p. 47
Beweise in der Mathematik	p. 47
Börsenkurs und Rendite einer Anleihe	p. 49
Zusammenfassung	p. 51
Übungsaufgaben	p. 54
Lösungen	p. 55
Funktionen	p. 58
Einführung	p. 58
Grundbegriffe	p. 60
Funktionen und ihre Darstellung	p. 61
Die Umkehrfunktion	p. 64
Wichtige Eigenschaften von Funktionen	p. 66
Grenzwerte bei Funktionen	p. 70
Begriffsdefinition	p. 70
Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert	p. 72
Rechenregeln für Funktionsgrenzwerte	p. 74
Stetigkeit	p. 75
Die elementaren Funktionen	p. 78
Polynome	p. 78
Die trigonometrischen Funktionen und die Arcusfunktionen	p. 83
Die Potenzfunktionen, die Exponentialfunktion und die Logarithmen	p. 89
Die Hyperbel- und die Areafunktionen	p. 94
Kurzer Verstündnistest	p. 98
Anwendungen	p. 99
Datenallokation in verteilten Datenbanksystemen	p. 99
Mathematische Funktionsauswertungen mittels Taschenrechner	p. 102
Zusammenfassung	p. 105
Übungsaufgaben	p. 112
Lösungen	p. 113
Algebra	p. 117
Einführung	p. 117
Relationen	p. 118
Gruppen	p. 124
Ringe und Körper	p. 130
Kurzer Verständnistest	p. 132
Anwendungen	p. 133
Küchenkräuter in Männermagazinen	p. 133
Warum gilt "Minus mal Minus ergibt Plus"?	p. 134
Modulo-Rechnung	p. 135
Zusammenfassung	p. 139
Übungsaufgaben	p. 140
Lösungen	p. 141
Lineare Algebra	p. 143
Einführung	p. 143
Grundbegriffe	p. 144
Das Skalarprodukt	p. 150
Matrizen	p. 153
Grundlegende Definitionen	p. 154
Operationen und Rechenregeln für Matrizen	p. 157
Die Matrizenmultiplikation	p. 158
Rang einer Matrix	p. 162
Die Determinante	p. 163
Lineare Gleichungssysteme	p. 165
Das Gauß'sche Eliminationsverfahren	p. 165
Lösungstheorie mittels Rangbegriff	p. 169
Die Inverse einer Matrix	p. 171
Definition und Rechenregeln	p. 172
Das Gauß-Jordan-Verfahren	p. 173
Kurzer Verständnistest	p. 176
Anwendungen	p. 177
Der Hamming-Abstand	p. 177
Computer-Tomographie und lineare Gleichungssysteme	p. 179
Zusammenfassung	p. 182
Übungsaufgaben	p. 189
Lösungen	p. 190
Differentialrechnung	p. 194
Einführung	p. 194
Der Ableitungsbegriff	p. 195
Geometrische Bedeutung und Definition der Ableitung	p. 196
Tangente und Differential	p. 200
Differentielle Fehleranalyse	p. 204
Stetigkeit und Differenzierbarkeit	p. 205
Ableitung elementarer Funktionen und höhere Ableitungen	p. 207
Ableitung der elementaren Funktionen	p. 207
Höhere Ableitungen	p. 208
Ableitungstechniken	p. 209
Ableitungsregeln	p. 209
Grenzwertregeln von L'Hospital	p. 214
Extrema und Kurvendiskussion	p. 215
Extremwerte	p. 216
Wendepunkte und Krümmungsverhalten	p. 219
Elementare Kurvendiskussion	p. 221
Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen	p. 222
Bisektions-und Sekantenverfahren, Regula falsi	p. 223
Newton'sches Iterationsverfahren	p. 226
Taylorpolynome	p. 228
Funktionen in mehreren Veränderlichen	p. 233
Definitionen und Beispiele	p. 233
Partielle Ableitungen 1.Ordnung	p. 239
Tangentialebene, totale Differenzierbarkeit	p. 241
Das totale Differential	p. 243
Gradient und Richtungsableitung	p. 245
Bestimmung von Extremwerten, höhere Ableitungen	p. 248
Verallgemeinerung auf den <$>{\op R}^n<$>	p. 253
Kurzer Verständnistest	p. 254
Anwendungen	p. 255
Ökonomie: Preiselastizität der Nachfrage	p. 255
Optimierung von Aktienportfolios	p. 256
Zusammenfassung	p. 260
Übungsaufgaben	p. 266
Lösungen	p. 267
Reihen	p. 271
Einführung	p. 271
Konvergenz unendlicher Reihen	p. 272
Konvergenzkriterien	p. 277
Potenzreihen und Taylorreihen	p. 282
Potenzreihen	p. 282
Taylorreihen	p. 285
Kurzer Verständnistest	p. 288
Anwendungen	p. 289
Achilles und die Schildkröte	p. 289
Wie wertet der Taschenrechner z.B. die e-Funktion aus?	p. 290
Zusammenfassung	p. 293
Übungsaufgaben	p. 298
Lösungen	p. 299
Integration	p. 303
Einführung	p. 303
Grundbegriffe	p. 304
Integrationstechniken	p. 314
Uneigentliche Integrale	p. 319
Mehrfachintegrale	p. 321
Kurzer Verständnistest	p. 329
Anwendungen	p. 330
Das Volumen eines Kühlturms	p. 330
Integrale im Straßenbau	p. 331
Zusammenfassung	p. 333
Übungsaufgaben	p. 337
Lösungen	p. 338
Die komplexen Zahlen	p. 341
Einführung	p. 341
Der Körper der komplexen Zahlen	p. 342
Die Definition der komplexen Zahlen	p. 343
Reelle und komplexe Zahlen	p. 343
Die Grundrechenarten	p. 344
Der Körper der komplexen Zahlen	p. 346
Die konjugiert-komplexe Zahl	p. 346
Die Gauß'sche Zahlenebene	p. 348
Veranschaulichung durch die Gauß'sche Zahlenebene	p. 349
Polarkoordinaten in der Ebene	p. 351
Betrag und Argument von komplexen Zahlen	p. 353
Die Polarform komplexer Zahlen	p. 354
Multiplikation und Division komplexer Zahlen	p. 355
Die Exponentialform komplexer Zahlen	p. 357
Algebraische Gleichungen	p. 359
Quadratische Gleichungen	p. 359
Komplexe Polynome	p. 361
Fundamentalsatz der Algebra	p. 364
Komplexe Wurzeln	p. 365
Kurzer Verständnistest	p. 369
Anwendungen	p. 370
Fraktale	p. 370
Wechselspannungen in der Elektrotechnik	p. 371
Zusammenfassung	p. 373
Übungsaufgaben	p. 375
Lösungen	p. 376
Differentialgleichungen	p. 378
Einführung	p. 378
Grundbegriffe	p. 380
Lösungstechniken	p. 391
Lineare Differentialgleichungen	p. 394
Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten	p. 399
Kurzer Verständnistest	p. 407
Anwendungen	p. 408
Wachstumsprozesse	p. 408
Der harmonische Oszillator und elektrische Schwingkreise	p. 411
Zusammenfassung	p. 415
Übungsaufgaben	p. 419
Lösungen	p. 420
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik	p. 423
Einführung	p. 423
Deskriptive Statistik	p. 425
Mittelwert und Varianz	p. 425
Klasseneinteilung und Histogramme	p. 428
Regression und Korrelation	p. 432
Wahrscheinlichkeitsrechnung	p. 436
Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten	p. 436
Das Axiomensystem von Kolmogoroff	p. 439
Bedingte Wahrscheinlichkeiten	p. 441
Zufallsvariable und Verteilungsfunktion	p. 444
Grundbegriffe	p. 444
Erwartungswert und Varianz	p. 447
Spezielle Verteilungen	p. 450
Kurzer Verständnistest	p. 455
Anwendungen	p. 456
Eine sonderbare Ziffern-Verteilung und die Steuerrevision	p. 456
HIV-Tests	p. 458
Zusammenfassung	p. 461
Übungsaufgaben	p. 469
Lösungen	p. 470
Tipps zum Studium	p. 475
Literaturverzeichnis	p. 480
Index	p. 481
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