Variation Et Optimisation De Formes/ Variation and Shape Optimization

by Henrot, Antoine; Pierre, Michel

• ISBN13: 9783540262114
• ISBN10: 3540262113
• eBook ISBN(s): 9783540376897
• Format: Paperback
• Copyright: 2005-07-06
• Publisher: Springer Verlag
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Summary

Ce livre est une initiation aux approches modernes de loptimisation mathmatique de formes. On y dveloppe la mthodologie ainsi que les outils danalyse mathmatique et de gomtrie ncessaires ltude des variations de domaines. On y trouve une tude systmatique des questions gomtriques associes loprateur de Laplace, de la capacit classique, de la drivation par rapport une forme, ainsi quun FAQ sur les topologies usuelles sur les domaines et sur les proprits gomtriques des formes optimales avec ce qui se passe quand elles nexistent pas, le tout avec une importante bibliographie.

Table of Contents

Introduction, Exemples	p. 1
Introduction	p. 1
Quelques exemples académiques	p. 3
Problèmes isopérimétriques	p. 3
Surfaces minimales et surfaces capillaires	p. 5
Problèmes de valeurs propres	p. 6
Exemples plus appliqués	p. 12
Formage électromagnétique d'un jet de métal liquide	p. 12
Optimisation d'un aimant	p. 14
Segmentation d'images	p. 15
Identification de fissures ou de défauts	p. 16
Problèmes de renforcement ou d'isolation	p. 17
Mélange de matériaux et optimisation de structures	p. 19
Exemples en aéronautique	p. 21
Topologies sur les domaines de <$>{\op R}^N<$>	p. 23
Pourquoi une topologie?	p. 23
Différentes topologies sur les domaines	p. 24
Introduction	p. 24
La convergence des fonctions caractéristiques	p. 25
La convergence des ouverts au sens de Hausdorff	p. 28
La convergence au sens des compacts	p. 35
Lien entre ces différentes notions de convergence	p. 36
Résultats de compacité	p. 39
Suites d'ensembles à périmètre borné	p. 44
Définition du périmètre, propriétés	p. 44
Continuité, compacité	p. 47
Suites d'ouverts uniformément réguliers	p. 50
Exercices	p. 58
Continuité par rapport au domaine	p. 61
Le problème de Dirichlet	p. 62
L'espace <$>H_0^1<$> et son dual H-1	p. 62
""""Lip <$>\circ<$> H1 <$>\subset<$> Hl""""	p. 67
L'inégalité de Poincaré	p. 70
Le problème de Dirichlet pour le Laplacien	p. 73
Continuité pour le problème de Dirichlet	p. 74
Position du problème	p. 74
Premières propriétés	p. 75
Indépendance par rapport à f	p. 77
Suites croissantes	p. 78
Le cas de la dimension 1	p. 79
Contre-exemples à la continuité en dimension 2	p. 80
Suite d'ouverts uniformément lipschitziens	p. 82
Capacité associée à la norme H1	p. 85
Définition(s) et propriétés	p. 85
Capacité relative et potentiel capacitaire	p. 89
Quelques exemples de calculs de capacité	p. 93
Quasi-continuité, quasi-ouverts	p. 97
Une nouvelle définition de <$>H_0^1<$>(¿)	p. 103
Retour au problème de Dirichlet	p. 105
Perturbation locale	p. 106
Convergence compacte et ouverts stables	p. 106
Contraintes de type capacitaire	p. 108
La ¿-convergence	p. 112
Définition	p. 112
Lien avec la convergence au sens de Mosco	p. 113
D'autres opérateurs associés à la <$>H_0^1<$> ¿-convergence	p. 115
Remarques pour les opérateurs non-linéaires	p. 116
Estimations quantitatives	p. 117
Continuité pour le problème de Neumann	p. 118
Introduction	p. 118
Le résultat de convergence	p. 120
D'autres résultats de convergence	p. 121
¿-convergence et condition de Neumann	p. 124
L'opérateur bi-Laplacien	p. 126
Capacité H2	p. 127
Etude de la continuité par rapport au domaine	p. 128
Exercices	p. 130
Existence de formes optimales	p. 133
Quelques problèmes géométriques	p. 133
Problèmes isopérimétriques	p. 133
Une extension	p. 135
Surfaces capillaires	p. 135
Exemples de non-existence	p. 137
Régularité uniforme des formes admissibles	p. 144
Contraintes de type capacitaire	p. 146
Minimisation de l'énergie de Dirichlet	p. 147
L'effet de contraintes sur le périmètre	p. 154
Monotonie de la fonctionnelle	p. 157
Exercices	p. 165
Dérivation par rapport au domaine	p. 167
Introduction	p. 167
Intégrales sur un domaine variable	p. 169
Introduction	p. 169
Notations	p. 170
La formule de dérivation	p. 172
Les démonstrations	p. 173
Dérivation sur un intervalle et premières applications	p. 176
Un problème modèle	p. 178
Présentation du problème	p. 178
Un calcul formel	p. 179
Les deux énoncés principaux	p. 180
Les démonstrations	p. 181
Dérivabilité d'ordre supérieur	p. 185
Dérivabilité dans des espaces réguliers	p. 186
Intégrales sur un bord variable	p. 188
Intégrales de bord: définitions et propriétés	p. 188
Un premier énoncé	p. 191
Un peu de géométrie différentielle	p. 192
Extension de la normale à un domaine variable	p. 197
Une formule générale de dérivation au bord	p. 199
Dérivation du problème de Neumann	p. 202
Comment dériver les problèmes aux limites	p. 206
Dérivation d'une valeur propre simple	p. 207
Utilisation de l'état adjoint	p. 212
Structure des dérivées de forme	p. 216
Introduction et notations	p. 216
Un premier résultat de structure	p. 217
Exemples de dérivées 1ères de forme	p. 218
Le théorème de structure et ses corollaires	p. 220
Les démonstrations	p. 222
Exemples de calculs de dérivées secondes	p. 225
Trois remarques finales	p. 228
Conclusion	p. 229
Exercices	p. 230
Propriétés géométriques de l'optimum	p. 233
Symétrie	p. 233
Introduction	p. 233
Utiliser la symétrisation de Steiner	p. 235
Utilisation des conditions d'optimalité et du principe du maximum	p. 240
Utilisation d'un autre problème d'optimisation de forme	p. 243
Un cas de non symétrie: le problème de Newton	p. 247
Convexité	p. 249
Introduction	p. 249
Comparaison avec l'enveloppe convexe	p. 251
Courbure positive	p. 254
Caractère étoile	p. 256
Utilisation de sous-solutions et sur-solutions	p. 256
Utilisation de réarrangement étoile	p. 258
Autres propriétés géométrico-topologiques	p. 262
Connexité	p. 262
Propriété géométrique de la normale	p. 267
Autres propriétés en lien avec un domaine fixé	p. 269
Relaxation, homogénéisation	p. 271
Introduction	p. 271
La ¿-convergence	p. 272
La G-convergence	p. 274
Relaxation pour le problème de Dirichlet	p. 277
Introduction	p. 277
Complétion pour la ¿-convergence	p. 278
Un autre exemple	p. 287
Relaxation par homogénéisation	p. 299
Présentation du problème	p. 299
Relaxation	p. 301
Conditions d'optimalité	p. 303
Un exemple d'application	p. 308
Références	p. 313
Index des notes bibliographiques	p. 327
Index général	p. 329
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